【高数极限公式】在高等数学中，极限是微积分的基础之一，掌握常见的极限公式对于理解导数、积分以及函数的连续性等概念至关重要。本文将对一些常用的高数极限公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本极限公式
| 公式 | 说明 |
| $\lim_{x \to a} c = c$ | 常数的极限为常数本身 |
| $\lim_{x \to a} x = a$ | 自变量趋近于某点时，其值即为该点 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 三角函数中的重要极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | 与$\sin x$相关的扩展极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数的基本极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ | 对数函数的基本极限 |
二、无穷小与无穷大的比较
| 极限表达式 | 结果 | 说明 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 1 | 无穷小量之间的比值 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ | 1 | 同上，倒数形式 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$ | 0 | 无穷小量与线性项的比值 |
| $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ | 0 | 对数增长远小于线性增长 |
| $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0$ | 0 | 指数增长远快于线性增长 |
三、常用极限定理
| 定理名称 | 内容 |
| 夹逼定理（Squeeze Theorem） | 若 $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$，且 $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$，则 $\lim_{x \to a} g(x) = L$ |
| 单调有界定理 | 单调递增且有上界的数列必收敛；单调递减且有下界的数列必收敛 |
| 海涅定理（Heine定理） | 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有极限当且仅当对于任意以 $x_0$ 为极限的数列 $\{x_n\}$，都有 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = L$ |
四、常见函数的极限
| 函数类型 | 极限表达式 | 极限结果 |
| 多项式函数 | $\lim_{x \to a} P(x) = P(a)$ | $P(a)$ |
| 分式函数 | $\lim_{x \to a} \frac{P(x)}{Q(x)}$ | 若 $Q(a) \neq 0$，则为 $\frac{P(a)}{Q(a)}$ |
| 三角函数 | $\lim_{x \to 0} \tan x = 0$ | 0 |
| 指数函数 | $\lim_{x \to \infty} e^x = \infty$ | 正无穷 |
| 对数函数 | $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ | 负无穷 |
五、洛必达法则（L’Hospital’s Rule）
适用于不定型极限：$\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$。
- 若 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ 是不定型，则：
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$
注意：使用洛必达法则前应确保满足条件，否则可能得出错误结论。
总结
极限是高等数学的核心内容之一，掌握这些基础公式和定理有助于后续学习导数、积分、级数等内容。通过表格的形式整理这些知识，可以帮助我们更系统地理解和记忆相关概念。建议结合具体例题练习，进一步巩固对极限的理解和应用能力。
