【等差等比数列公式】在数学中，数列是一种按照一定顺序排列的数的集合。其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型，它们在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。本文将对等差数列和等比数列的基本公式进行总结，并以表格形式清晰展示。

一、等差数列

等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差为一个常数的数列。这个常数称为公差，记作 $ d $。

基本公式：

1. 通项公式：

$$

a_n = a_1 + (n - 1)d

$$

其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数，$ d $ 是公差。

2. 求和公式（前 $ n $ 项和）：

$$

S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d

$$

3. 中间项性质：

若 $ m + n = p + q $，则有 $ a_m + a_n = a_p + a_q $

二、等比数列

等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比为一个常数的数列。这个常数称为公比，记作 $ r $。

基本公式：

1. 通项公式：

$$

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

$$

其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数，$ r $ 是公比。

2. 求和公式（前 $ n $ 项和）：

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)

$$

当 $ r < 1 $ 时，可以求无穷等比数列的和：

$$

S = \frac{a_1}{1 - r}

$$

3. 中间项性质：

若 $ m + n = p + q $，则有 $ a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q $

三、对比表格

四、总结

等差数列和等比数列是数列中的两种基本形式，掌握它们的通项公式和求和公式对于解决实际问题非常重要。通过理解它们的规律和性质，可以帮助我们更高效地分析和计算数列相关的问题。无论是考试还是日常应用，这些公式都是不可或缺的基础工具。