当我们讨论函数在某一点处的极限时，实际上是在探究当自变量无限接近于该点时，函数值的变化趋势。以正弦函数 \( \sin x \) 在 \( x = 0 \) 处的极限为例，这是一个非常经典的问题。

首先，让我们明确极限的概念：如果对于任意给定的正数 \( \epsilon > 0 \)，总存在一个正数 \( \delta > 0 \)，使得当 \( 0 < |x - c| < \delta \) 时，有 \( |f(x) - L| < \epsilon \)，那么我们就说 \( f(x) \) 当 \( x \to c \) 时的极限是 \( L \)。

回到 \( \sin x \) 在 \( x = 0 \) 的情况。我们知道，正弦函数是一个连续函数，并且其定义域为全体实数。因此，\( \sin x \) 在 \( x = 0 \) 处的极限可以直接通过代入法求得：

\[ \lim_{x \to 0} \sin x = \sin(0) = 0 \]

这是因为正弦函数在其定义域内是连续的，所以当 \( x \) 趋近于 0 时，\( \sin x \) 的值也趋近于 \( \sin 0 \)，即 0。

此外，从图形上也可以直观地看到这一点。绘制 \( y = \sin x \) 的图像，可以看到在 \( x = 0 \) 附近，曲线平滑地经过原点 (0, 0)，表明当 \( x \) 接近 0 时，\( \sin x \) 的值确实趋于 0。

总之，通过对极限概念的理解以及结合正弦函数的具体性质，我们可以轻松得出结论：\( \sin x \) 在 \( x = 0 \) 处的极限为 0。这种分析不仅适用于数学理论研究，也是解决实际问题的重要工具之一。