【微积分入门基本公式】微积分是数学中非常重要的分支，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。它主要包括微分和积分两个部分，分别研究函数的变化率和累积量。对于初学者来说，掌握一些基本的微积分公式是非常有必要的。以下是对微积分入门中常用公式的总结。
一、微分基本公式
微分用于求函数在某一点的瞬时变化率，即导数。以下是常见的微分公式：
| 函数形式 | 导数（微分） |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
二、积分基本公式
积分用于计算函数在某一区间上的累积值，包括不定积分和定积分。以下是常见的积分公式：
| 函数形式 | 不定积分 | ||
| $ f(x) = c $（常数） | $ \int c \, dx = cx + C $ | ||
| $ f(x) = x^n $（n ≠ -1） | $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ f(x) = \sin x $ | $ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $ | ||
| $ f(x) = \cos x $ | $ \int \cos x \, dx = \sin x + C $ | ||
| $ f(x) = e^x $ | $ \int e^x \, dx = e^x + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln | x | + C $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $ |
三、常见微积分法则
除了基本公式外，还有一些重要的微积分运算法则，帮助我们处理更复杂的函数：
| 法则名称 | 内容 |
| 常数倍法则 | $ \int af(x) \, dx = a \int f(x) \, dx $ |
| 加法法则 | $ \int [f(x) + g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx $ |
| 链式法则（微分） | $ \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
| 分部积分法（积分） | $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ |
| 反函数求导法则 | 若 $ y = f(x) $，$ x = f^{-1}(y) $，则 $ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} $ |
四、总结
微积分的基本公式是学习这一领域的基础，掌握这些内容有助于理解函数的变化规律和面积、体积等几何问题的计算。通过不断练习和应用，可以逐步提高对微积分的理解与运用能力。
建议初学者从简单的函数入手，逐步过渡到复合函数和复杂运算，同时多做题巩固所学知识。
